Sannolikhetslära i 40K

[Rasmus]

Låt mig förklara tanken med den här tråden: Figurspel i allmänhet har en väldigt stor aspekt som handlar om sannolikhet. Det kan vara väldigt enkla saker (För dem flesta i alla fall), som till exempel hur många wounds jag kan tänkas göra med den här squaden och hur många wounds jag får tillbaka. Detta tas ofta på en väldigt simpel nivå, och det duger i 99% av fallen. Jag tänkte att den här tråden kan få vara en samlingsplats för de lite större tankenötterna som eventuellt kräver lite mer matematik. Tråden är till för intresserade av lite enklare sannolikhetslära, och är mest till för skojs skull.

Mycket av det som skrivs här kommer så klart vara väldigt basic för folk som studerat sannolikhetslära på högskola och till och med gymnasium, men det vet jag av erfarenhet inte gäller för alla. Så vi kan ju säga att det inte finns dumma frågor eller dumma svar på en gång, och tycker man att sånt här är skittråkigt är det ingen som tvingar en att läsa

Enkelt exempel: Coteaz tillåter reroll på seize. Oddsen för motståndare respektive en själv att lyckas:

För motståndaren: Folk kanske tänker sig (1/6)/2 = 1/12, vilket blir fel. I själv verket blir det (1/6) * (1/6) = 1/36.

För en själv: Man kanske tycker att det är enkelt att säga 1/6 * 2 = 2/6 = 1/3. Vilket också blir fel. Enklast är nog att räkna chansen att misslyckas = (5/6) * (5/6) = 25/36. Då är chansen att lyckas 1-25/36 = 11/36. Alltså 1/36 chans mindre än vad man räknar ut i farten. Alltså är skillnaden minimal, men det kan ändå vara intressant att konstatera dess existens.

Resultat: Coteaz ändrar oddsen för seize till 1/36 för motståndaren och 11/36 till en själv.

Exempel 2, något som kom upp i matchen jag spelade senast: En Ork Battlewagon kommer dundrande emot en enhet med 2 Jokaeros. Den är fortfarande mer än 12 tum bort, och jag sätter så klart jockarnas enhet på jobbet. Då kommer frågan, ska jag satsa på att skjuta med multimeltas (Str 8, AP1), eller Lascannons (Str 9, AP2).

Just där på plats kändes alternativen väldigt likvärdiga. Det enda jag ville var att få till en immobilize eller högre, alla andra resultat kunde beskrivas som irrelevanta. Det fanns inte tid att gå igenom alla alternativ och beräkna sannolikheten, men sen satte jag mig efteråt och fick fram att:

Multimeltas = 1/2 * 1/6 * 3/6 = 3/72 chans att få immobilize eller högre.

Lascannons = 1/2 * 1/6 * 2/6 + 1/2 * 1/6 * 4/6 = 2/72 + 4/72 = 6/72 chans att få immobilize eller högre.

Alltså var chansen exakt dubbelt så hög att få igenom en immobilize med Lascannons. Jag anade att Lascannons var bättre, så därför använde jag dessa, men jag hade inte trott på dubbelt så effektiva bara genom att slå det i huvudet.

Exemplet fortsätter, för jag hade även 3 stycken MM-servitors i bilen. Om jag nu är i en situation där dessa 5 förvisso kan skjuta, men kommer bli anfallna nästa runda om de inte får stopp på bilen, ska jag då skjuta, eller springa? Vad är oddsen för att få stopp på den helt enkelt.

Det är nu jag ser många göra misstaget att tänka sig att chansen borde bli (3*3/72)+(2*6/72) = 0,291666 = 29, 17% chans.

Detta är dock inte korrekt, då den egentligen sannolikheten måste beräknas (X = Antal Immobilize eller högre)

3x Multimeltas

0 Immobilize+ = (69/72)^3 = 0,8801 = 88,01% chans
1 Immobilize+ = 3*(69/72)^2*(3/72) = 0,1149 = 11,49% chans
2 Immobilize+ = 3*(69/72)*(3/72)^2 = 000501 = 0,501 % chans
3 Immobilize+ =(3/72)^3 = 0,000072 = 0,0072% chans

Så X >_ 1 = 11,49+0,501+0,0072 = 11,9982 (12%)

2x Lascannons

0 Immobilize + = (66/72)^2 = 0,8408 = 84,08% chans
1 Immobilize + = 2*(6/72)*(66/72) = 0,1528 = 15,28% chans
2 Immobilize + = (6/72)^2 = 0,007 = 0,7% chans

Så X >_ 1 = 15,28+0,7 = 15,98 (16)

Så chansen att det lyckas blir då:

0 X = (1-0.12) * (1-0,16) = 0,7392 = 73,92%
1 X = 1-73,92-0.0192 = 0,2416 = 24,16% chans
2 X = 0,16*0,12 = 0,0192 = 1,92% chans

X >_ 1 = 26,08

Alltså inte 29,17 som många i farten hade tagit fram.

Resultat: Chansen att få stopp på battlewagonen är 26,08% (Halva det om orkspelaren har ett coversave). Beroende på omständigheterna är det nog ingen vidare idé att chansa.

En tredje nöt, bara för att jag inte har bättre för mig:

2x Jokaero i en enhet. Man är ute efter att få +12 tum-uppgraderingen, vad är chansen? Jokaeros får +1 på resultatet och får 2x tärningar på en 6:a. Bara 1 tärning får dubbleras på det sättet, och alla dubletter av resultat är slösade. Vad är chansen att vi får en 2:a?

Tärning 1: (1/6) + (2/6) * 1/6*2 = 1/6 + 4/36 = 3/18+2/18 = 5/18
Tärning 2: 1/6 (En till 6:a är förslösad.

Så 5/18+3/18 = 8/18.

Resultat: Chansen för att få +12 tum range är 8/18 = 4/9


Så fyll på med exempel ni antingen vill ha svar på eller uträkningar ni gjort för era egna arméer som andra kan tänkas tycka är intressanta!

[EyeGuy]

Multimeltas = 1/2 * 1/6 * 3/6 = 3/72 chans att få immobilize eller högre.

Lascannons = 1/2 * 1/6 * 2/6 + 1/2 * 1/6 * 4/6 = 2/72 + 4/72 = 6/72 chans att få immobilize eller högre.

Ett litet tips bara. I fallen ovan så ser man massor med siffor. Men det blir nog enklare för dom som inte hänger med på sannolikheterna att förstå om dom vet vart siffrorna kommer ifrån.
Så att skriva att den första sannolikheten är för att träffa, den andra för pen/glancing, osv. underlättar nog.
Om inte annat så gör det lättare att felsöka om man själv eller andra gör fel (;

Och i fallet med Multimeltan så får jag det till att bli 2/72.
1/2 för träff, 1/6 för glancing (då pen är omöjligt), 2/6 för immobilize eller högre och inte 3/6 (AP 1 = +1, glancing = -2, så -1 totalt på tabellen).

[Rasmus]

Multimeltas = 1/2 * 1/6 * 3/6 = 3/72 chans att få immobilize eller högre.

Lascannons = 1/2 * 1/6 * 2/6 + 1/2 * 1/6 * 4/6 = 2/72 + 4/72 = 6/72 chans att få immobilize eller högre.

Ett litet tips bara. I fallen ovan så ser man massor med siffor. Men det blir nog enklare för dom som inte hänger med på sannolikheterna att förstå om dom vet vart siffrorna kommer ifrån.
Så att skriva att den första sannolikheten är för att träffa, den andra för pen/glancing, osv. underlättar nog.
Om inte annat så gör det lättare att felsöka om man själv eller andra gör fel (;

Och i fallet med Multimeltan så får jag det till att bli 2/72.
1/2 för träff, 1/6 för glancing (då pen är omöjligt), 2/6 för immobilize eller högre och inte 3/6 (AP 1 = +1, glancing = -2, så -1 totalt på tabellen).

Du har rätt i det, ja. Blev lite mycket skrivande bara, ska förbättra det senare.

Angående det sista: Battlewagonen var dessutom open-topped, tog det som underförstått, vilket så klart var fel Alltså är glance = pen när vapnet har AP1.

[EyeGuy]

Du har rätt i det, ja. Blev lite mycket skrivande bara, ska förbättra det senare.

Angående det sista: Battlewagonen var dessutom open-topped, tog det som underförstått, vilket så klart var fel

Ah, jo open-topped gör att den sannolikheten du kom fram till stämmer såklart (:

[Halvar]

jag håller med om att det blir lättare för oss oinvigda att hänga med på varför det i ena fallet bara var en uträkning och i andra fallet blev två uträkningar.
var det itne battlewagons han sköt mot? de är väl open topped eller är det bara jag som inte möt battlewagons på ett tag?

edit: oj vad ninjad jag blev där. skitjobbdator!

[Rasmus]

Multimeltas = 1/2 * 1/6 * 3/6 = 3/72 chans att få immobilize eller högre.

Lascannons = 1/2 * 1/6 * 2/6 + 1/2 * 1/6 * 4/6 = 2/72 + 4/72 = 6/72 chans att få immobilize eller högre.

Vi kan ta det här exemplet med förklaring.

Lascannons:
1/2 * 1/6 * 3/6 = Chansen att träffa * Chansen att få en glance * Chansen att få 4+ på glance-tabellen.

1/2 * 1/6 * 3/6 = Chansen att träffa * Chansen att få en glance * Chansen att få 4+ på penetrating-tabellen.

Summan av dessa är chansen för ett skott som både kan penna och glanca att minst immobilisera en OT-battlewagon. Multimeltan behöver ingen summering eftersom den är oförmögen att penna, utan nöjer sig med: "Chans för träff * Chans för att slå en 6:a (Glance)*Chansen att så 4+ på glance-tabellen".

[Samuel]

Efter några högskolepoäng statistik och att ha försöjt mig på att spela kort, så har jag lärt mig att det absolut viktigaste att förstå/känna till är varians. Kortfattat innebär det att man kan göra rätt beslut, gång efter gång, men ändå blir det fel. Allt för ofta möter man någon som är sur för att tärningarna inte rullar deras väg.

[Rasmus]

Absolut, och variansen i exempelvis ett försök med 3x Multimeltas mot en Battlewagon ser ut som följande:

(Det här inlägget kräver nog snudd på att man faktiskt läst lite sannolikhetslära, men resultatet kan ju vara intressant för alla)

Väntevärdet: Summeringen av k*P(k) Där k antar alla relevanta värden och P(k) = Sannolikheten att k inträffar.

Chans för att få 1 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72
Chans för att få 2 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72
Chans för att få 3 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72
Chans för att få 4 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72
Chans för att få 5 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72
Chans för att få 6 på tabellen = 3*1/2*1/6*1/6 = 3/72

Väntevärde = 1* 3/72 + 2* 3/72 + 3* 3/72 + 4* 3/72 + 5* 3/72 + 6*3/72 = 63/72 = 7/8

Alltså är det genomsnittliga resultatet för 3x multimeltas mot en battlewagon 7/8. Alltså strax under en shaken i snitt.

Vill vi ha variansen av detta blir det:

E(X^2)-(E(X))^2

E(X^2) = 1^2*3/72+2^2*3/72+3^2*3/72+4^2*3/72+5^2*3/72+6^2*3/72 = 91/24

91/24 - (7/8)^2 = 3,027

Standardavvikelsen blir då: D(X) = Roten ur variansen = Roten ur 3,027 = 1,74

Den genomsnittliga avvikelsen från väntevärdet är alltså 1,74.

(Har saker att göra, så hinner inte korrekturläsa detta just nu, får bli imorgon).

[Rasmus]

För att göra en någorlunda enkel förklaring: Standardavvikelsen beskriver hur mycket de olika värdena i populationen (Tex 1-6 när man rullar en tärning) avviker från medelvärdet.

Exempelvis: Vi har en tärning. Medelvärdet när man rullar en tärning är så klart 3,5, det är nog de flesta med på. Att standardavvikelsen är 1,708 säger kanske inte lika mycket. Men om man tar ett exempel med en magisk tärning som har en sida med inga prickar och en sida med 10 prickar. Medelvärdet här kommer så klart vara 5, men inget av enskilda resultat kommer vara i närheten av 5.

Det säger sig kanske själv att standardavvikelsen är 5, eftersom det är det enda avståndet möjligt. Hade tärningen haft en till sida som var 5 (Alltså 0, 5, och 10) så hade medelvärdet fortfarande varit 5 men avvikelsen hade minskat. Standardavvikelsen hade varit: ((0^2*1/3+5^2*1/3+10^2*1/3)-(5^2))^1/2 = 4,08

Kort sagt, vi har dessa båda tärningar, en med sidorna (0, 10) och ytterligare 1 med sidorna (0,5,10). Medelvärdet av antalet prickar är 5 på båda, men gäller det att faktiskt slå 5 eller högre har tärningen med 2 sidor bara 50% chans medan den andra har 2/3 chans. Eftersom den senare har mindre standardavvikelse.

Det var inte meningen att göra en skola av det här, men ville ge folk som inte studerat sannolikhetslära en chans att förstå vad standardavvikelse innebär.

[Silvertejp]

Jag trodde inte den här hobbyn kunde bli nördigare, men jag hade tydligen fel.